大学物理B1 · 机械波 · 第三至第五节

大学物理B1 · 机械波（三）波的能量 · PDF 第 41 页

波的能量

机械振动机械波

在弹性介质

中传播

振动状态、相位、能量的传播速度等于波速

振动状态的传播过程

相位的传播过程

能量的传播过程

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介质元的振动动能

平面简谐纵波在直棒中的传播

\[\Delta m=\rho\Delta V=\rho S\Delta x\]

\[\Delta E_k=\frac{1}{2}v^2\Delta m\]

\[v=\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\sin\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right]\]

\[\therefore\ \Delta E_k=\frac{1}{2}v^2\Delta m=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2\sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right]\Delta V\]

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介质元的弹性势能

\[\Delta E_P=\frac{1}{2}k(\Delta y)^2=\frac{1}{2}\frac{ES}{\Delta x}(\Delta y)^2=\frac{1}{2}ES\Delta x\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\]

依杨氏模量\(E\)的定义和胡克定律，有

\[F=ES\frac{\Delta y}{\Delta x}=k\Delta y\]

又\(\Delta V=S\Delta x\)，\(u=\sqrt{\frac{E}{\rho}}\)，\(\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{A\omega}{u}\sin\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right]\)

\[\therefore\ \Delta E_P=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2\sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right]\Delta V\]

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介质元的总能量

\[\Delta E_k=\Delta E_P=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2\sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right]\Delta V\]

结论

(1) 介质元 \(\Delta V\) 的总能量 ——周期性变化

(2) 介质元的动能、势能变化是同周期的，且相等

(3) 介质元的机械能不守恒，因为不是孤立体系，有能量传播

\[\Delta E=\Delta E_K+\Delta E_P=\rho A^2\omega^2\sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right]\Delta V\]

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介质元的总能量

A B C

波腹

波谷

最大位移处:

\[\Delta E_K=\Delta E_P=0\]

平衡位置处:

\[y=0,\ \Delta E_K、\Delta E_P取最大值\]

\[\Delta E_k=\Delta E_P=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2\sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right]\Delta V\]

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定量分析

为方便分析，令\(\varphi=0,\ y=A\cos\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)\right],\ v=\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\sin\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)\right]\)

速度最大时：\(\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)=(2k+1)\frac{\pi}{2},\ y=0\)

质点过平衡位置时动能最大

此时的相对形变（应变）\(\frac{\partial y}{\partial x}=A\frac{\omega}{u}\sin\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)\right]=A\frac{\omega}{u}\) 也最大

同理可证：质元动能最小时，势能也最小。

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