一个一个到达的电子，怎样形成干涉条纹？
电子到达探测器时，会留下一个局域的记录。把记录保存在屏幕上，再等下一个电子到来，起初看到的只是零零散散的亮点。随着等待继续，画面里逐渐出现明暗相间的条纹。
这个实验值得慢慢看。一个亮点告诉我们一次探测发生在哪里，一幅条纹却要靠许多次记录才能显现。我们将从实验装置走到这些记录，再建立一套能够计算它们分布的规则。
1 先看看电子经过了什么
外村彰（Akira Tonomura）团队在电子显微镜中实现了这一实验。电子源发出电子，电场将它们加速；电子波经过双棱镜后，两部分在下游重叠；探测器将每次到达转换成可以记录的位置。下图是日立研究团队提供的装置示意。实验介绍
图中的电子双棱镜由中央的细丝和两侧电极组成。细丝与两侧电极之间的电势差，使经过细丝两侧的电子波向中间偏转，随后在探测器所在区域重叠。这里的两个通道，就是细丝两侧的空间区域。
要得到稳定的干涉图样，两部分电子波之间需要有稳定的相位关系。相位描述波在一个周期中进行到哪里：两列波的波峰同时到达，和一列波峰恰好遇到另一列波谷，会产生不同的叠加结果。双棱镜将同一束电子波的两部分引向重叠区域，使我们能够比较这种关系的后果。
这套装置还需要一项能力：分辨单次电子事件。探测器把一次电子到达所产生的信号放大，并登记位置；显示屏上的一个亮点就代表这样一条记录。
外村彰（Akira Tonomura）长期研究电子全息与电子干涉。他和同事发展高相干性的电子束与灵敏的探测技术，让微观相位关系成为可以观察的实验现象。本节讨论的逐点累积实验发表于1989年。研究背景
2 把电子束减弱，会发生什么？
先设想一个可能的解释：会不会是许多电子同时经过装置，相互作用以后排出了条纹？我们可以减弱电子束，让相邻电子之间的时间间隔远大于穿过装置所需的时间，然后继续观察。
日立的实验介绍给出了这样的量级：每秒约发出10个电子，一个电子穿过显微镜约需 \(10^{-8}\) 秒。相邻电子的平均间隔约为
\[ \frac{1}{10\ \mathrm{s}^{-1}}=0.1\ \mathrm{s}. \]
平均间隔比穿越时间长约一千万倍。按“到达速率乘停留时间”估算，装置内的平均电子数约为
\[ (10\ \mathrm{s}^{-1})(10^{-8}\ \mathrm{s})=10^{-7}. \]
电子几乎总是彼此分开地穿过装置。探测器仍然不断留下记录，而累积的记录仍然形成了条纹。实验条件与观察过程
先看最上面一幅。仅凭这几个点，很难猜出最后的图样。再向下看，某些位置的记录越来越密，另一些位置始终比较稀疏。到最下面，条纹已经清楚地显现出来。
这个结果把两件事放在我们面前：每次探测产生一个局域事件；在同样的制备和装置条件下，很多次事件构成具有干涉结构的统计分布。接下来要解释的，就是不同位置为什么有不同的出现概率。
3 从记录次数，到探测概率
在探测屏上选定一个小区域 \(R\)。假设我们共记录到 \(N\) 个电子，其中有 \(N_R\) 个落在这个区域，那么
\[ f_R=\frac{N_R}{N} \]
就是这组记录中落入 \(R\) 的频率。例如，记录到1000个电子，其中120个落在选定区域，频率就是0.12。
如果不断重复同样的实验条件，这个频率会围绕一个确定的值波动，并随着记录增加逐渐稳定。量子理论要预测的正是这个值，我们把它记作 \(P_R\)，称为探测概率。
现在把屏幕划分为互不重叠、合起来覆盖全部记录的区域。每个电子只登记在其中一个区域，因此这些区域的概率之和为1。明条纹对应较高的局部探测概率，暗条纹对应较低的局部探测概率。
这样，问题可以说得更具体了：已知电子的制备方式和实验装置，怎样算出探测位置的概率分布？
4 一个带有方向的数
为了建立计算，我们先把探测屏简化为一列离散的探测位置，位置编号记作 \(j\)。量子理论给每个位置分配一个复数 \(A_j\)，称为这个探测结果的概率幅。概率由它的模平方给出：
\[ P_j=|A_j|^2. \]
这里先补齐复数的几何意义。一个复数可以写成
\[ A=u+iv,\qquad i^2=-1, \]
其中 \(u\)、\(v\) 都是实数。在平面上，以 \(u\) 为横坐标、\(v\) 为纵坐标，就能用一根从原点出发的箭头表示 \(A\)。箭头的长度是复数的模：
\[ |A|=\sqrt{u^2+v^2}. \]
因此，取模平方就是计算
\[ |A|^2=u^2+v^2. \]
例如，若 \(A=0.3+0.4i\)，则 \(|A|^2=0.3^2+0.4^2=0.25\)。
箭头与横轴的夹角称为相位，通常用 \(\phi\) 表示。若长度为 \(r\)，则
\[ A=r(\cos\phi+i\sin\phi)=r e^{i\phi}. \]
最后一种写法只是把括号内的三角函数组合简记为 \(e^{i\phi}\)。角度用弧度表示：转一圈是 \(2\pi\)，半圈是 \(\pi\)，四分之一圈是 \(\pi/2\)。
由 \(P=|A|^2\) 可见，一根箭头的长度决定相应概率。它的方向也有用：当两路贡献需要相加时，方向会影响相加后的长度。
两路贡献怎样相加
对于同一个探测位置 \(j\)，把来自双棱镜两侧的概率幅贡献分别记作 \(a_j\) 和 \(b_j\)。在两路保持相干、共同通向该探测结果的情形下，总概率幅为
\[ A_j=a_j+b_j, \]
于是
\[ P_j=|a_j+b_j|^2. \]
这条规则把“概率幅”和“概率”的工作顺序规定清楚了：先把两路复数贡献相加，再计算所得箭头的长度平方。电子干涉所呈现的概率变化，就从这一步出现。概率幅的基本规则
5 亲手算出相长与相消
先固定一个探测位置。在一个具体例子中，取两路概率幅的长度都为 \(1/4\)，并把第一路的相位选为零：
\[ a=\frac14,\qquad b=\frac14 e^{i\phi}. \]
这里的 \(\phi\) 就是两路的相对相位。两路长度相等，表示它们对这个位置的贡献强度相同；相位差可以随传播条件改变。
相位相同
当 \(\phi=0\) 时，\(e^{i\phi}=1\)，两根箭头同向：
\[ A=\frac14+\frac14=\frac12, \qquad P=\left|\frac12\right|^2=\frac14. \]
探测概率为25%。这种增强称为相长干涉。
相位相差四分之一圈
当 \(\phi=\pi/2\) 时，\(e^{i\phi}=i\)。第一根箭头沿横轴，第二根沿纵轴：
\[ A=\frac14+\frac{i}{4}. \]
用实部平方加虚部平方，得到
\[ P=\left(\frac14\right)^2+ \left(\frac14\right)^2=\frac18. \]
探测概率变为12.5%。
相位相差半圈
当 \(\phi=\pi\) 时，\(e^{i\phi}=-1\)，两根等长箭头反向：
\[ A=\frac14-\frac14=0, \qquad P=0. \]
两路贡献在这个位置完全相消。这种情形称为相消干涉。
三次计算中，两路各自的模平方始终都是 \(1/16\)。改变的是它们相加的方式。同样大小的贡献，可以因相位关系而增强，也可以彼此抵消。
把三种情况写进一个公式
用刚才的 \(a\) 和 \(b\)，可以把任意相位下的结果一次算出：
\[ \begin{aligned} P(\phi) &=\left|\frac14+\frac14 e^{i\phi}\right|^2\\ &=\frac1{16}(1+e^{i\phi})(1+e^{-i\phi})\\ &=\frac1{16}\left(2+e^{i\phi}+e^{-i\phi}\right)\\ &=\frac18(1+\cos\phi). \end{aligned} \]
第二步用了复数的模平方规则：将一个复数与它的复共轭相乘。复共轭就是把虚部的符号反过来，所以 \(e^{i\phi}\) 的复共轭为 \(e^{-i\phi}\)。最后一步来自
\[ e^{i\phi}+e^{-i\phi}=2\cos\phi. \]
现在代入 \(0\)、\(\pi/2\) 和 \(\pi\)，就能重新得到上面的三个结果。
对于一般的两路概率幅，同样的展开给出
\[ |a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2\operatorname{Re}(a^*b). \]
星号表示复共轭，\(\operatorname{Re}\) 表示取实部。最后一项就是干涉项。在我们的例子里，它等于 \(\cos\phi/8\)，随着相位改变而变正、变零或变负。
6 亮处增加的概率，从哪里来？
只看一个探测位置，还会留下一个问题：如果相位让这里的概率增加了，全部位置的概率相加会怎样？我们可以把刚才的例子补成一个完整模型。
设一个理想装置有八个离散探测位置，编号为 \(j=0,1,\ldots,7\)。单独从任何一路输入时，电子到达这八个位置的概率都为 \(1/8\)。我们让两路以相等权重相干地参与，并设它们在相邻位置的相对相位增加 \(\pi/4\)。
在概率幅的计算中，连续两步过程的贡献相乘：先进入某一路，再从该路传播至探测位置。两路相等权重各对应一个幅度因子 \(1/\sqrt2\)；单路到达某个位置的概率为 \(1/8\)，对应的幅度长度为 \(1/\sqrt8\)。因此每路对该位置的贡献长度是
\[ \frac1{\sqrt2}\frac1{\sqrt8}=\frac14. \]
这就给出了上一节选取 \(1/4\) 的一个完整来源。按顺序给八个位置分配相位：
\[ \phi_j=\frac{2\pi j}{8}. \]
于是每个位置的概率幅和概率为
\[ a_j=\frac14,\qquad b_j=\frac14 e^{i\phi_j}, \]
\[ P_j=\frac18(1+\cos\phi_j). \]
逐项代入即可得到下表。最后一列给出了记录1000个电子时的平均计数预期，取到最近的整数。
| 位置 \(j\) | 相位差 \(\phi_j\) | 探测概率 \(P_j\) | 1000次记录的平均计数，约 |
|---|---|---|---|
| 0 | \(0\) | 0.2500 | 250 |
| 1 | \(\pi/4\) | 0.2134 | 213 |
| 2 | \(\pi/2\) | 0.1250 | 125 |
| 3 | \(3\pi/4\) | 0.0366 | 37 |
| 4 | \(\pi\) | 0 | 0 |
| 5 | \(5\pi/4\) | 0.0366 | 37 |
| 6 | \(3\pi/2\) | 0.1250 | 125 |
| 7 | \(7\pi/4\) | 0.2134 | 213 |
总概率可以直接检查。在八个相位中，\(0\) 与 \(\pi\) 的余弦相消，\(\pi/4\) 与 \(5\pi/4\) 的余弦相消，其余也能两两配对。因此
\[ \sum_{j=0}^{7}\cos\phi_j=0, \]
从而
\[ \sum_{j=0}^{7}P_j =\frac18\left(8+\sum_{j=0}^{7}\cos\phi_j\right)=1. \]
相长位置增加的概率，由相消位置减少的概率补偿。干涉改变了记录在不同位置之间的分配。
我们还可以让第二路整体多获得一个相位 \(\delta\)。这时
\[ P_j(\delta)=\frac18\left[1+\cos\left(\frac{2\pi j}{8}+\delta\right)\right]. \]
下图比较了 \(\delta=0\) 和 \(\delta=\pi/2\)。各处的概率变化了，总和仍然为1。亮暗结构随着相位设置移动。
真实的电子干涉实验在许多位置记录事件。传播条件使相对相位随位置变化，于是相长与相消出现在不同地方，形成条纹；各路贡献的强弱还会决定图样整体的亮度分布。这个八位置模型让我们用一张表算清了其中的相位作用。
7 相干叠加与概率混合，会给出怎样不同的记录？
再准备另一组实验。每次用随机选择的方式，只从第一路或第二路输入，二者各占一半。在八位置模型中，无论选哪一路，到达每个位置的条件概率都是 \(1/8\)。因此混合后的概率是
\[ P_j^{\mathrm{mix}} =\frac12\frac18+\frac12\frac18 =\frac18. \]
这里先按各路出现的比例加权，再相加概率。八个位置得到相同的平均计数，这就是@fig-sample-eight 中的虚线。
相干制备则保留了两路之间的相位关系，给出
\[ P_j^{\mathrm{coh}}=\frac18(1+\cos\phi_j). \]
例如在位置0，相干制备给出 \(1/4\)，概率混合给出 \(1/8\)；在位置4，相干制备给出零，概率混合仍为 \(1/8\)。实验者可以通过重复准备和比较记录，分辨这两种情况。
也可以让两路同时参与，但让相对相位在每次试验之间随机变化。如果相位在一整圈中均匀分布，余弦的平均值为零。将不同试验的记录累积起来，同样会得到均匀的 \(1/8\)。观察稳定条纹，因此需要在积累数据的过程中保持足够稳定的相位关系。
回到最初的实验，我们现在有了一套更具体的语言。一次电子探测给出一个位置；重复相同制备，得到各位置的出现频率；概率幅与相位帮助我们计算这些频率所趋近的分布。电子一个一个到来，条纹一点一点形成，两者在同一套预测规则中联系起来。
接下来的问题落在探测器上：到达之前参与相干演化的系统，怎样通过与装置的相互作用留下一个明确记录？这将把我们带向测量，以及微观描述和宏观记录之间的联系。
动手检查
- 在第五节的单位置例子中，若 \(\phi=\pi/3\)，探测概率是多少？分别用复数的实部、虚部计算一次，再用余弦公式计算一次。
- 在八位置模型中，将第二路相位整体增加 \(\pi\)，原先最亮的位置和最暗的位置会怎样变化？
- 若两路各半随机输入，记录增加到10000次，每个位置的平均计数预期是多少？这些数在实际的一次实验中会不会恰好完全相同？
第1题。 \(e^{i\pi/3}=1/2+i\sqrt3/2\)，所以 \(A=3/8+i\sqrt3/8\)，模平方为 \(9/64+3/64=3/16\)。用余弦公式同样得到 \(P=(1+1/2)/8=3/16\)。
第2题。 \(\cos(\phi_j+\pi)=-\cos\phi_j\)。位置0的概率从 \(1/4\) 变为零，位置4从零变为 \(1/4\)；亮暗位置交换，总概率保持为1。
第3题。 各处平均计数均为1250。一次实际记录会有统计涨落，因此计数通常彼此略有差异。
本节资料与图像
- A. Tonomura、J. Endo、T. Matsuda、T. Kawasaki、H. Ezawa，Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern，American Journal of Physics 57，117–120（1989）。论文标识
- Hitachi：单电子干涉实验介绍。本节装置图及束流、穿越时间的量级来自该资料。装置图版权归原权利人，保留原图。
- 电子累积图的原始文件页。实验为外村彰团队；提供者Belsazar；CC BY-SA 3.0，图像保持原貌。
- JST ERATO：外村电子波面项目。人物照片与项目背景来源；照片版权归原权利人。
- 《费曼物理学讲义》第三卷第1章，第7节：概率幅规则的阅读入口。
本节的复平面图和八位置概率图由所列模型直接计算。