第二讲 量子比特：状态、测量与调控
量子力学怎样改变我们处理信息的方式？一个著名例子是Shor算法，它给出了在量子计算机上高效地将整数分解为素因数的方法。算法的具体步骤将在后面的算法专题中展开；本讲先追问它的物理基础：量子计算用什么承载信息，又怎样操作和读取这些信息？
普通计算机的信息需要物理载体，例如可以用不同电压范围表示0和1。量子计算同样需要载体，其基本信息单元称为量子比特。要使用它，就要能把系统准备到所需的起始状态、通过物理作用改变状态，并由测量取得结果。这些步骤涉及什么物理过程，需要怎样的状态描述，是理解量子算法的基础。
我们从一个具体对象入手：一个光子的偏振。第一讲已经介绍了逐个探测事件、概率幅和干涉；现在用光子偏振状态的准备与测量，把这些概念连接成可以计算的描述。一次选定方式的读出只有0或1，但读出之前光子可以处于哪些状态、可以怎样操作，以及这些选择如何影响结果，都值得仔细考察。理解了这个例子，再看自旋、原子和电路如何提供同样的量子比特结构。
贯穿本讲：一个光子怎样成为量子比特？怎样描述和操作它，才能预测读出的结果？
- 从一个光子开始。 怎样用它的偏振表示0和1，又怎样通过测量读出？
- 认识量子态。 只知道光子在水平、竖直两个出口的出现概率，够不够预测其他测量的结果？
- 研究操作的影响。 让光子经过不同的光学元件，读出结果会怎样变化？我们怎样预测？
- 回到量子比特。 原子、电路也能承载量子比特吗？它们与光子偏振有什么共同点？
从一个光子的偏振开始
0和1对应什么物理对象？
先为0和1这两个标签找到具体的物理含义：选择光子的两种能够可靠区分的偏振状态。
让光沿固定方向传播。在垂直于传播方向的平面内，若电场沿一条固定直线振动，就称为线偏振光。把两条互相垂直的参考方向称为水平与竖直，分别标记为H、V。实验中，把光子准备到所需偏振状态的过程称为制备。我们可以分别制备H偏振或V偏振的单光子，并约定H代表0、V代表1。两种情况下都有一个光子，0不表示没有光子。
怎样区分H、V这两种偏振？先回顾经典光学中的偏振片：用它产生指定方向的线偏振光时，称为起偏器；用它选择一个偏振方向、通过透过光强分析入射偏振时，称为检偏器。这两个名称说明的是元件在实验中的用途。对于常见的吸收式偏振片，沿透光轴的电场分量透过，与透光轴垂直的分量被吸收。
现在希望同时记录两个互相垂直的偏振结果，就使用偏振分束器（PBS）。它也能承担检偏的作用，但将两个分量分别送往两个出口：在本讲的装置设置中，H分量透射，V分量反射。这样，在两个出口各放一个探测器，就能分别记录H、V结果。
对于理想的单光子测量，H偏振的光子必然在H口被记录，V偏振的光子必然在V口被记录。我们把这套用偏振分束器区分H、V、用探测器读出结果的装置称为H/V偏振分析器，下文简称“H/V分析器”。本讲先假定每次确有一个入射光子、分束过程无损耗，两个探测器都能准确记录到达的光子。
图中制备元件的通光方向沿输入光轴；PBS的H出口与输入共线，V出口与它垂直。实际装置中，这些元件的通光中心需要调到同一高度。实际实验中的对应元件可参看伯克利大学教学实验的偏振分析装置；该实验用两套分析装置测量一对光子。
核心知识点：比特标签需要物理编码；单光子偏振可以提供两个可区分的编码态。
我们已经用H、V两种偏振状态分别表示0和1。光子还可以处于哪些偏振状态？让这样的光子通过同一个H/V偏振分束器，两个出口会记录到怎样的结果？
下面考察45度线偏振：在H轴向右、V轴向上的横截面图中，电场沿“／”方向来回振动，与H、V两个方向的夹角都是45度。
45度偏振的光子，会读出0还是1？
为了理解45度偏振的读出，先用熟悉的光束实验求两路强度，再考察逐个输入光子时怎样记录。
这里让已知方向的线偏振光通过检偏器，用马吕斯定律计算透过光强。设入射光的电场幅度为 \(E_0\)、光强为 \(I_{\rm in}\)，理想偏振片的透光轴与入射偏振方向之间的夹角为 \(\theta\)。偏振片透过沿其透光轴的电场分量，幅度为 \(E_t=E_0\cos\theta\)。由于光强与电场幅度的模平方成正比，透过光强 \(I_t\) 满足
\[ I_t=I_{\rm in}\cos^2\theta. \tag{2.1}\]
这就是马吕斯定律：入射偏振与透光轴平行时全部透过，垂直时透过为零。马吕斯定律与电场投影
将检偏器换为前面介绍的H/V偏振分束器，就能同时测量两路光强。令入射线偏振与H方向的夹角为 \(\theta\)，它在H、V方向上的电场分量分别为 \(E_0\cos\theta\)、\(E_0\sin\theta\)，两路光强分别满足
\[ I_H=I_{\rm in}\cos^2\theta,\qquad I_V=I_{\rm in}\sin^2\theta. \]
理想无损分束时，\(I_H+I_V=I_{\rm in}\)。这里的 \(I_{\rm in}\) 是到达分束器的光强。
现在代入45度偏振，即 \(\theta=45^\circ\)。电场的两个投影为
\[ \begin{aligned} E_H&=E_0\cos45^\circ=\frac{E_0}{\sqrt2},\\ E_V&=E_0\sin45^\circ=\frac{E_0}{\sqrt2}. \end{aligned} \]
相应地，\(I_H=I_V=I_{\rm in}/2\)。普通光束在两个出口同时有光，两路平均光强各为入射的一半。
图中的起偏器就是用于制备线偏振光的偏振片，其透光轴与H方向成45度。光功率探头收集整束光；在两路光都被完整接收的理想条件下，功率比例也满足 \(P_H/P_{\rm in}=\cos^2\theta\)、\(P_V/P_{\rm in}=\sin^2\theta\)，其中 \(P_{\rm in}\) 是到达PBS的光功率。入射光为45度线偏振时，两个探头各接收其中一半。
现在每次送入一个45度偏振的光子。第一讲介绍过，单光子探测表现为逐个事件。在这里的理想条件下，一次试验只有一个探测器记录到光子；重复许多次这样的试验，两路计数比例各趋近于一半。有限次数不要求恰好各半。
为什么光强的比例能与光子计数的比例联系起来？ 这里每个光子的频率相同，能量也相同。两个探测器完整接收各自出口的光时，接收到的总能量与光子数成正比。因此，两路平均光功率各占一半，就对应长期计数各占一半。对于每次只送入一个光子的试验，某个出口的计数占总次数的比例，会随着试验次数增多而趋近于光子在这个出口被探测到的概率。45度偏振对应的两个概率都是 \(1/2\)。光子偏振的两态描述
核心知识点：45度偏振的光子，一次H/V测量仍只读出0或1，两种结果的概率各为一半。
把“每次都输入45度偏振光子”的方法记为A。再考虑另一种输入方法B：每次以相同概率随机选择H偏振或V偏振，送入同一个H/V分束器。
对B，我们已经知道每种输入会去哪里：H光子必然进入H口，V光子必然进入V口。两种输入被选中的概率各为一半，因此两个出口的长期计数也各占一半。这里结果的随机性来自输入的随机选择；每个光子进入装置前已经具有选定的H或V偏振。
两种输入都使H、V出口的计数各占一半。那么，A中的光子会不会也像B一样，进入装置前就已经是H或V偏振，只是我们不知道是哪一种？ 要判断这一点，可以保持A、B各自的准备方法，换一个测量方向。如果两种输入的统计出现差别，就说明它们不能被当作同一种状态。
同样是各半，偏振状态是否相同？
把分析器转到45度，两种输入还一样吗？
如果A与B真是同一种状态，它们在换一种测量后也应给出相同的统计。我们仍按A、B各自的方法准备新的一批光子，保持准备入射偏振的元件设置不变，只改变后面测量装置所区分的两个偏振方向。在这里的装置模型中，将偏振分束器绕入射光的传播方向转动45度，并让探测器对准相应出口，就是“把分析器转到45度”。
这与两块偏振片实验中固定起偏器、转动检偏器的思路相同：保持输入偏振不变，改变测量方向。这里使用偏振分束器，同时记录两个出口的结果。
让新准备的光子进入这套装置，两个出口分别接收45度偏振和与它垂直的偏振，称为45度出口和垂直出口；“垂直”在这里指与45度方向垂直，对应图中的“＼”方向。
A的偏振与45度出口的分析方向一致，理想情况下每个光子都从这个出口被探测到。对于B，H和V各自在两个分析方向上的投影大小相同，每一种输入都产生各半统计，混合后仍然各半。这个结论可以先由熟悉的偏振投影关系判断。
动手比较：转动分析器，两组计数怎样变？
核心知识点：H/V测量中的“各半”不能说明光子原本就是H或V。换到45度方向测量，A的光子全部从45度出口出来，B的光子只有一半从这个出口出来。
怎样在数学上区分这两种输入？
换到45度方向测量，A的光子全部从45度出口出来，B的光子只有一半从这个出口出来。因此，每次输入45度偏振，与每次随机输入H或V，是两种不同的情况。
如果只用“H、V两个结果的概率各为一半”来描述输入，A、B就会被写成完全相同的一组数字。可是，同样改用45度方向测量，A、B需要给出不同的预测。这组数字遗漏了区分两种输入所需的信息。
我们需要把这种区别保留在状态的数学描述中，使它既能算出H/V测量中的各半，也能算出45度测量中的差别。量子态就是用来预测系统各种测量结果及其概率的状态描述。 下面从熟悉的偏振分解出发，建立这样的数学表示，再用它计算A、B的测量结果。
核心知识点：只写“H、V各半”会把A、B混为一谈；状态的数学描述必须保留两者的区别，才能预测换方向后的不同结果。
怎样用量子态计算读出概率？
先给H、V和45度偏振写出数学表示，再说明怎样针对一个测量方向计算概率。最后用这套规则算回A、B的差别，检查它是否解释了前面的比较。
怎样把偏振状态写成数学表达式？
回顾45度偏振的电场分解：H、V两个分量同号，幅度都是总幅度的 \(1/\sqrt2\)。与45度方向垂直的偏振则有大小相等、符号相反的两个分量。两者的分量平方相同，分量之间的相对关系却不同。数学描述需要保留这种关系。
选H、V偏振态作为两个基本向量，记为 \(|H\rangle\)、\(|V\rangle\)，称为一组基底，其中每个向量称为基矢。我们约定用第一、第二个坐标分别表示H、V分量，于是
\[ |H\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad |V\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}. \]
这种写法称为狄拉克记号。其中 \(|H\rangle\)、\(|V\rangle\) 这样的向量称为右矢（ket）；用于描述量子态的向量称为态矢量。选定基底后，可以用一列坐标表示右矢，如上面的两个列向量。
能用一个态矢量完整描述的状态称为纯态，H、V和45度偏振都是例子。
把偏振分量的相对大小与符号保留下来，45度偏振态与它的垂直偏振态分别记为 \(|+\rangle\)、\(|-\rangle\)，写为
\[ |+\rangle=\frac{|H\rangle+|V\rangle}{\sqrt2},\qquad |-\rangle=\frac{|H\rangle-|V\rangle}{\sqrt2}. \]
这里用 \(+\)、\(-\) 标记两个态，分别对应H、V分量同号与异号的组合。后文把对应的45度出口、垂直出口简记为 \(+\) 出口、\(-\) 出口；这些符号是状态与结果的标签。
展开式中的系数称为概率幅。这与第一讲的波函数有什么联系？以电子的位置为例，波函数 \(\psi(x)\) 是纯态在位置基底中的表示：它给出随位置 \(x\) 变化的概率幅。同样，本讲选定H、V基底后，用两个概率幅表示光子的偏振纯态。
第一讲介绍的玻恩（Max Born）的波函数统计诠释，将概率幅与测量统计联系起来：归一化位置波函数的模平方 \(|\psi(x)|^2\) 给出位置的概率密度，对一个区间积分就得到电子出现在该区间的概率。在本讲的两出口测量中，结果只有H、V两种，对应概率幅的模平方直接给出各结果的概率。这就是这里使用的玻恩规则（Born规则）。例如，45度态 \(|+\rangle\) 的H、V概率幅都是 \(1/\sqrt2\)，对应的概率都是 \(1/2\)。
对于与它垂直的偏振态 \(|-\rangle\)，从展开式中读出H、V两个结果的概率幅，分别记为 \(a_H\)、\(a_V\)：
\[ a_H=\frac{1}{\sqrt2},\qquad a_V=-\frac{1}{\sqrt2}. \]
取模平方，得到这两个结果的概率：
\[ \begin{aligned} P(H)&=|a_H|^2=\left|\frac{1}{\sqrt2}\right|^2=\frac12,\\ P(V)&=|a_V|^2=\left|-\frac{1}{\sqrt2}\right|^2=\frac12. \end{aligned} \]
V分量的负号在取模平方后消去。因此，\(|+\rangle\) 与 \(|-\rangle\) 的概率幅虽然不同，H/V测量的结果概率却相同。
在本讲的理想条件下，每次送入一个光子，必定在H、V两个出口中的一个被探测到，而且一次只出现一个结果。因此，H、V两个结果的概率之和必须为1。
要让态矢量中的系数直接作为概率幅，它们的模平方之和也必须为1。将所有系数乘上同一个适当的因子，使其满足这个条件，同时保持各分量的相对关系，称为归一化。一般的归一化偏振纯态写为
\[ |\psi\rangle=\alpha|H\rangle+\beta|V\rangle =\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix},\qquad |\alpha|^2+|\beta|^2=1. \]
例如，45度偏振的两个分量同号且大小相等，可以先用系数 \((1,1)\) 记下这个相对关系。但它们的模平方之和为2，需要同时除以 \(\sqrt2\)，才能得到两个概率幅 \(1/\sqrt2\)，对应概率各为 \(1/2\)、总和为1。这就是前面展开式中 \(1/\sqrt2\) 因子的作用。
概率幅 \(\alpha\)、\(\beta\) 可以是复数；目前先用上述实数例子建立计算，后面通过光学元件的相位延迟解释复数系数的物理作用。随机H/V输入怎样描述，将在算回A、B的差别时处理。
核心知识点：偏振纯态用H、V基底中的概率幅表示；概率幅既保留大小，也保留分量之间的相对关系。
怎样从量子态算出某个出口的概率？
前面选用的是H、V基底 \(\{|H\rangle,|V\rangle\}\)。同一个输入态在这组基底中写为
\[ |\psi\rangle=\alpha|H\rangle+\beta|V\rangle. \]
两个展开系数 \(\alpha\)、\(\beta\) 分别是H、V结果的概率幅。因此，用前面的偏振分束器把H、V分量分到两个出口，再由探测器记录时，两个出口的概率分别为
\[ P(H)=|\alpha|^2,\qquad P(V)=|\beta|^2. \]
现在保持输入光子的状态不变，把分析器转到45度方向。两个出口分别对应45度偏振态 \(|+\rangle\) 和与它垂直的偏振态 \(|-\rangle\)。为计算这两个出口的概率，改用45度及其垂直偏振基底 \(\{|+\rangle,|-\rangle\}\)，把同一个输入态写为
\[ |\psi\rangle=a_+|+\rangle+a_-|-\rangle. \]
这里的两个展开系数 \(a_+\)、\(a_-\) 分别是两个新出口的概率幅，对应概率为
\[ P(+)=|a_+|^2,\qquad P(-)=|a_-|^2. \]
因此，接下来要解决的是：已知旧基底中的系数 \(\alpha\)、\(\beta\)，怎样求出新基底中的系数 \(a_+\)、\(a_-\)？
暂时取 \(\alpha\)、\(\beta\) 为实数，借助熟悉的向量投影来计算。\(|+\rangle\)、\(|-\rangle\) 的坐标向量长度都为1，且互相垂直，因此输入向量在这组基底中的展开系数，就是它沿两个方向的投影系数。
先求45度出口的概率幅 \(a_+\)。在H/V基底中，输入态的坐标为 \((\alpha,\beta)\)，\(|+\rangle\) 的坐标为 \((1/\sqrt2,1/\sqrt2)\)。输入向量在这个单位向量上的投影系数由点积给出：
\[ a_+=\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right)\cdot(\alpha,\beta) =\frac{\alpha+\beta}{\sqrt2}. \]
同样，用 \(|-\rangle\) 的坐标求另一个出口的概率幅：
\[ a_-=\left(\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2}\right)\cdot(\alpha,\beta) =\frac{\alpha-\beta}{\sqrt2}. \]
点乘时，两个向量都用H/V坐标表示；算出的 \(a_+\)、\(a_-\) 则是同一个输入态在新基底 \(\{|+\rangle,|-\rangle\}\) 中的展开系数。将它们分别取模平方，就得到新测量的两个出口概率。
刚才计算45度出口的概率幅时，用到了两个向量：实际输入光子的态 \(|\psi\rangle\)，以及该出口检验的偏振态 \(|+\rangle\)。计算H出口时，第二个向量就换成 \(|H\rangle\)。为了用一个公式处理不同出口，我们把所选出口标为 \(a\)，它检验的偏振态统一记为 \(|a\rangle\)。
例如，选H出口时，\(|a\rangle=|H\rangle\)；选45度出口时，\(|a\rangle=|+\rangle\)。如果送入的光子恰好处于这个偏振态，理想装置就必然在所选出口记录到它。实际输入也可以是其他态；我们要算的正是它在这个出口被探测到的概率。
现在允许概率幅为复数。在同一H/V基底中，将归一化的输入态和所选出口检验的态分别写为
\[ |\psi\rangle=\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix},\qquad |a\rangle=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}. \]
\(\alpha\)、\(\beta\) 是输入态的H、V分量；\(u\)、\(v\) 是所选出口检验的态的H、V分量。\(a\) 是该出口的标签。例如，选H出口时 \((u,v)=(1,0)\)，选45度出口时 \((u,v)=(1/\sqrt2,1/\sqrt2)\)。
求输入态沿 \(|a\rangle\) 的投影系数，需要把实数点积推广为复数向量的内积：先对 \(|a\rangle\) 的各分量取复共轭，再把列向量转为行向量。取复共轭就是保持实部不变、将虚部变号，用星号 \(*\) 表示。这两个步骤合称共轭转置，得到的行向量记为左矢（bra） \(\langle a|\)：
\[ \langle a|=(u^*,v^*). \]
再将它与输入态的列向量相乘，得到内积：
\[ \langle a|\psi\rangle =(u^*,v^*)\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix} =u^*\alpha+v^*\beta. \]
实数的复共轭等于它自身，因此这个计算在实数情况下就回到前面的点积。采用共轭还保证了向量与自身的内积为 \(\langle\psi|\psi\rangle=|\alpha|^2+|\beta|^2\)，即各分量的模平方之和，称为向量的范数平方；归一化态的这个值为1。
H、V两态满足 \(\langle H|V\rangle=0\)，称为正交。理想两出口分析器用一对归一化、正交的态 \(|a\rangle\)、\(|a_\perp\rangle\) 表示两个结果方向，这对态称为测量基；下标 \(\perp\) 标记另一个正交态。前面H/V分析器的测量基是 \(\{|H\rangle,|V\rangle\}\)；将分析器转到45度后，测量基就是 \(\{|+\rangle,|-\rangle\}\)。
现在用前面的玻恩规则将投影与测量联系起来：指定结果的概率幅是上述内积，结果概率是其模平方：
\[ P(a|\psi)=|\langle a|\psi\rangle|^2,\qquad P(a_\perp|\psi)=|\langle a_\perp|\psi\rangle|^2. \]
\(P(a|\psi)\) 表示输入态为 \(|\psi\rangle\) 时得到结果 \(a\) 的概率。两个结果的概率相加为1。这是将态矢量与实验统计联系起来的物理规则；它对线偏振给出的预测与前面的偏振投影规律一致。
核心知识点：确定输入态与测量基，求内积得到概率幅，再取模平方得到该出口的概率。
用这套规则解释45度偏振与随机H/V的差别
现在用刚建立的计算规则，重新比较前面的两种输入：
- A：每次送入的光子都处于45度偏振态 \(|+\rangle\)。
- B：每次随机选择H偏振或V偏振的光子送入，两种选择的概率各为 \(1/2\)。
两种输入在H/V测量中都给出各半的统计；换到45度及其垂直方向测量，结果却不同。下面分别计算两种输入在这组测量下的概率，解释差别从何而来。
对于A，每个输入态都是 \(|+\rangle=(|H\rangle+|V\rangle)/\sqrt2\)。将这个展开式代入出口概率幅的计算，得到
\[ \begin{aligned} \langle+|+\rangle &=\frac{1}{\sqrt2}\langle+|H\rangle +\frac{1}{\sqrt2}\langle+|V\rangle=1,\\ \langle-|+\rangle &=\frac{1}{\sqrt2}\langle-|H\rangle +\frac{1}{\sqrt2}\langle-|V\rangle=0. \end{aligned} \]
以第一行为例，\(\langle+|H\rangle\) 是H态在 \(+\) 出口的概率幅，再乘以输入态中H分量的系数 \(1/\sqrt2\)，就得到H项对该出口概率幅的贡献；V项同理。两项都是 \(1/2\)，相加得到 \(+\) 出口的总概率幅1。对于 \(-\) 出口，两项分别为 \(1/2\) 和 \(-1/2\)，相加得到0。最后对各出口的总概率幅取模平方，得到A的两个出口概率：
\[ \begin{aligned} P_A(+)&=|\langle+|+\rangle|^2=1,\\ P_A(-)&=|\langle-|+\rangle|^2=0. \end{aligned} \]
对于B，每次输入的是H态或V态中的一种。H输入、V输入在这组测量下都给出两个出口各半的概率。再按两种输入各被选中 \(1/2\) 的概率加权，得到B的两个出口概率：
\[ \begin{aligned} P_B(+)&=\frac12P(+|H)+\frac12P(+|V)=\frac12,\\ P_B(-)&=\frac12P(-|H)+\frac12P(-|V)=\frac12. \end{aligned} \]
这就算回了前面的差别。A的H、V分量具有确定的相对关系，可以在同一个结果的概率幅中相加，称为相对于H/V基底的相干叠加。B则是不同试验中随机选择H或V，称为随机混合。
如果不保留每次究竟选了H还是V的信息，这批光子的偏振用混合态描述。它不能用A的单个态矢量替代：两者在45度及其垂直方向分析中的预测不同。第六讲将引入密度矩阵，统一描述纯态和混合态；这里的B已可用两种输入各自的概率及其权重计算。
核心知识点：相干叠加中，同一结果的概率幅先相加；随机混合中，不同输入态的结果概率按权重相加。45度偏振与等概率随机H/V输入因此给出不同预测。
换一种写法，等于改变光子的状态吗？
刚才用H/V基和45度及其垂直方向组成的基计算。同一个H态也可以写成
\[ |H\rangle=\frac{|+\rangle+|-\rangle}{\sqrt2}. \]
右边出现了两个分量，光子的状态是否因此改变？把 \(|+\rangle\)、\(|-\rangle\) 的定义代入：
\[ \begin{aligned} \frac{|+\rangle+|-\rangle}{\sqrt2} &=\frac{1}{\sqrt2}\left( \frac{|H\rangle+|V\rangle}{\sqrt2} +\frac{|H\rangle-|V\rangle}{\sqrt2} \right)\\ &=\frac12\left(2|H\rangle+|V\rangle-|V\rangle\right)\\ &=|H\rangle. \end{aligned} \]
V分量一正一负相消，最后仍是原来的H态。改变的是描述所用的坐标，光子没有经历任何新的操作。
一般输入 \(|\psi\rangle=\alpha|H\rangle+\beta|V\rangle\) 在45度及其垂直方向基中的坐标为
\[ c_+=\frac{\alpha+\beta}{\sqrt2},\qquad c_-=\frac{\alpha-\beta}{\sqrt2}. \]
如果实际转动分析器，这两个坐标可用于预测新测量的结果；如果只在纸上换一种展开方式，原装置的结果不会改变。还有第三种操作：分析器不动，让入射光子的偏振发生变化。这时改变的是输入态，也需要重新计算读出概率。
对照操作：改变坐标写法与改变偏振方向
左栏只转动数学参考基，右栏实际改变光子的偏振方向；实验室H分析器始终不动。灰色参考轴的转动不代表实际分析器转动。
核心知识点：换基底只改变同一个态的坐标写法；实际改变分析器或输入态，才改变实验中所测的问题或被测对象。
光子经过元件后，下一步该用哪个状态？
前面每次都给定一个输入态，预测一次偏振测量的结果。现在考虑光依次经过多个元件的情况。先回顾经典光学中的三块偏振片实验，再把熟悉的光强计算改写为单光子的通过概率计算，看看每一步应该使用哪个偏振态。
从马吕斯定律回顾三块偏振片实验
让光依次通过水平、竖直两块理想偏振片。记第一块水平片之后的光强为 \(I_H\)，此时光是H偏振，与第二块的透光轴垂直。由马吕斯定律，末端光强为 \(I_H\cos^2 90^\circ=0\)。
在两者之间插入一块45度偏振片。通过中间片后，光强降为 \(I_H\cos^2 45^\circ=I_H/2\)，偏振方向也变为45度。它与最后一块竖直片的透光轴夹角为45度，因此末端光强为
\[ I_{\mathrm{out}}=I_H\cos^2 45^\circ\cos^2 45^\circ=\frac{I_H}{4}. \]
经典光学已经完整解释了重新透光的现象。连续使用马吕斯定律时，每一步都要使用上一块偏振片透过光的偏振方向。现在逐个送入光子，用前面建立的量子态与概率规则描述同一排列：一个光子通过中间片后，应该用哪个态计算它通过最后一片的概率？
实验短片 · 插入偏振片后，光重新出现（48秒）
观察插入并转动中间偏振片时，屏幕上的光斑如何变化。视频以线偏振光作为输入，末端另有分析片；装置的竖直／水平方向与正文可以整体互换，关键是相对夹角。
Shaoul Ezekiel，MIT OpenCourseWare，Polarization Rotation Using Polarizers。教学节选，原声保留；上方中文为观察提示，非逐字字幕；CC BY-NC-SA 4.0。这是经典光学演示，并非单光子实验。
核心知识点：经典计算逐步追踪光强和透过光的偏振方向；单光子计算则逐步追踪通过概率和通过后的偏振态。计算下一步时，要使用上一步透过后的状态。
透过后的偏振状态怎样决定下一步结果？
在理想偏振片的单光子描述中，通过概率由输入态在透光轴所对应偏振态上的投影计算；若光子通过，透过后的偏振态就是这条轴所对应的态。对于H偏振光子和45度偏振片，前面的玻恩规则给出 \(P(+|H)=|\langle+|H\rangle|^2=1/2\)；若它通过，后续状态就是 \(|+\rangle\)。
再让留下来的光子通过竖直偏振片，应该计算 \(P(V|+)=1/2\)。最初的H态已经不能描述此时的输入。以第一块水平片之后的光子数为起点，两步总透过概率为
\[ P(\text{依次透过}|H)=P(+|H)P(V|+)=\frac12\times\frac12=\frac14. \]
第二个因子的分母是已经通过中间片的光子数。例如最初有1000个H偏振光子，期望500个通过中间片、250个通过末片。这个四分之一的通过概率与经典计算的光强比例一致；连续计算能够得到这一结果，关键在于第二步使用了透过中间片后的 \(|+\rangle\) 态。
更一般地，中间片的透光轴与H方向成 \(\theta\) 角，透过态为
\[ |\theta\rangle=\cos\theta|H\rangle+\sin\theta|V\rangle. \]
于是
\[ \begin{aligned} P(\text{依次透过}|H)&=P(\theta|H)P(V|\theta)\\ &=\cos^2\theta\sin^2\theta\\ &=\frac14\sin^2(2\theta). \end{aligned} \]
中间片在45度时总透过率为四分之一，在0度或90度时为零。若把它移到竖直片之后，H光子先被竖直片完全阻挡，后面的元件便没有光子可继续处理。操作顺序改变了光子遇到每块偏振片时的状态，因而改变最终结果。
这里统一以第一块H片之后为起点。若从第一块片之前的理想非偏振光算起，还需乘上第一块片的一半透过率，三片总比例就是八分之一。
操作模型：转动中间片，再交换顺序
先预测，再查看各步透过后的状态、条件透过率与期望计数。统计起点在第一块水平片之后。
核心知识点：每一步都用该步实际的输入态计算；沿指定透过路径的总概率，是各步条件概率的乘积。
怎样把“选出结果，再更新状态”写成一般规则？
三块偏振片已经展示：知道“通过的概率”还不够，还必须知道“通过后的状态”。把这一点推广到能将正交态分到不同路径的理想分析器，就得到本讲采用的状态更新规则。
设输入为 \(|\psi\rangle\)，分析器的某个结果对应归一化态 \(|a\rangle\)。Born规则给出该结果的概率
\[ p_a=P(a|\psi)=|\langle a|\psi\rangle|^2. \]
如果选择这个非零概率的结果分支，并保留光子供下一步操作，留下光子的状态就是 \(|a\rangle\)。以已经选到这个结果为条件描述的状态，称为条件态。 这种以正交结果态作分辨、选中后留下对应态的理想模型，称为投影测量。
没有额外作用时，立即对留下的光子重复同一种分析，得到同一结果的概率是 \(|\langle a|a\rangle|^2=1\)。换一种测量基时，再从当前态 \(|a\rangle\) 出发求内积。这里用于连续操作的是保留下来的分支；末端探测器吸收光子并形成记录，已被吸收的光子不会再进入下一步。
前面的路径已经经过选择，所以使用条件概率相乘。若让不同路径保持相干并重新合并，则需要像第一讲的干涉那样，把通向同一结果的概率幅相加。
核心知识点：Born规则回答“这个结果多常出现”；理想投影测量的更新规则回答“选中这个结果后，留下的系统处于什么态”。
在这里，算符是作用于态矢量的线性变换，在选定基底中可以写成矩阵。将列向量 \(|a\rangle\) 与行向量 \(\langle a|\) 相乘，得到一个矩阵，称为它们的外积。由此外积定义投影算符 \(\hat\Pi_a=|a\rangle\langle a|\)，便有 \(\hat\Pi_a|\psi\rangle=|a\rangle\langle a|\psi\rangle\)：它保留输入态沿 \(|a\rangle\) 的分量。
这个向量的范数平方是结果概率 \(p_a\)。当 \(p_a>0\) 时，把它除以 \(\sqrt{p_a}\) 就得到归一化条件态。若 \(|a_\perp\rangle\) 是与 \(|a\rangle\) 正交的另一个归一化结果态，完整测量满足 \(\hat\Pi_a+\hat\Pi_{a_\perp}=\hat I\)；单位算符 \(\hat I\) 对应单位矩阵，作用后保持输入向量不变。
不靠筛选，怎样改变光子的偏振态？
偏振片的筛选已经是一种量子态调控：留下的光子具有所需的偏振态，但一部分光子被吸收或丢弃。能否保留光子，同时把给定的输入态变成所需的输出态？ 下面考虑用理想无损光学元件来完成这样的调控。
先选一个已经认识的例子：把45度偏振的 \(|+\rangle\) 态变成 \(|-\rangle\) 态。我们先比较这两个态的表达式，找出元件需要改变什么，再用测量检验转换是否实现。
从两个态的表达式，怎样找到调控方法？
输入态为 \(|+\rangle=(|H\rangle+|V\rangle)/\sqrt2\)，目标态为 \(|-\rangle=(|H\rangle-|V\rangle)/\sqrt2\)。比较可见，两分量的大小相同，区别在于相对符号：只需让V分量相对于H分量变号，就能完成这个转换。在线偏振电场中，这对应把一个分量的振动相对另一个延迟半个周期。
可以让两个偏振分量通过同一块双折射元件。双折射是指光沿两个特定偏振方向传播时具有不同的折射率；把这两个方向称为元件的主轴，并将它们分别对准H和V。两分量通过相同厚度，却积累不同的传播相位。两者的相位差就是相对相位。
设元件无额外损耗，给H、V分量分别增加相位 \(\delta_H\)、\(\delta_V\)。相位增加 \(\delta\) 时，复概率幅乘上 \(e^{i\delta}\)；这个因子的模为1，保留原来的幅度大小。45度输入因此变为
\[ \frac{e^{i\delta_H}|H\rangle+e^{i\delta_V}|V\rangle}{\sqrt2} =e^{i\delta_H}\frac{|H\rangle+e^{i\phi}|V\rangle}{\sqrt2},\qquad \phi=\delta_V-\delta_H. \]
这里 \(\phi\) 记录V分量相对于H分量增加的相位。若元件厚度为 \(L\)，H、V方向的折射率为 \(n_H,n_V\)，真空波长为 \(\lambda_0\)，采用传播相位为正的约定，则
\[ \phi=\frac{2\pi(n_V-n_H)L}{\lambda_0}. \]
因此，改变两分量的光程差就能连续调节相对相位。\(\phi=0\) 时两分量同相；\(\phi=\pi\) 时 \(e^{i\phi}=-1\)，就得到与45度垂直的偏振所需的相对负号。
前面写出的输出态中，还有一个乘在整个态上的共同因子 \(e^{i\delta_H}\)，称为整体相位。它对任一结果的概率满足
\[ |\langle a|e^{i\delta_H}\psi\rangle|^2 =|e^{i\delta_H}|^2|\langle a|\psi\rangle|^2 =|\langle a|\psi\rangle|^2. \]
计算读出概率时可以省略这个共同因子。可是，前面改变V分量的一个负号就改变了偏振，为什么这里的共同因子却不影响测量？比较下面两种写法，就能看出区别：
\[ -|+\rangle=\frac{-|H\rangle-|V\rangle}{\sqrt2},\qquad |-\rangle=\frac{|H\rangle-|V\rangle}{\sqrt2}. \]
左边同时改变两个分量的符号，是给整个 \(|+\rangle\) 乘上相位因子 \(-1\)。H、V的相对关系仍然同号，所以45度及其垂直方向测量仍必然得到 \(+\) 结果。右边只改变V分量相对于H的符号，45度及其垂直方向测量必然得到 \(-\) 结果。
因此，相差整体相位的两个态矢量表示同一个物理纯态；相对相位的变化则可能对应不同状态。这也说明态矢量的每一个写法，不一定代表一种新的可区分状态。
省略整体相位后，延迟元件的输出态可写为
\[ |\psi_\phi\rangle=\frac{|H\rangle+e^{i\phi}|V\rangle}{\sqrt2}. \]
当 \(\phi=\pi\) 时，输出态就是 \(|-\rangle\)，实现了开头提出的转换。理想无损元件通过改变两分量的相位关系完成调控，无需吸收或丢弃一部分光子。
这也显示了复数概率幅的物理作用：它记录两个偏振分量经历不同光程后形成的相位关系。虽然偏振态已经改变，两个分量的模平方仍为 \(1/2\)，所以H/V测量的概率保持各半。仅测H/V无法检验这次转换，需要换一组测量。
核心知识点：沿H、V主轴的无损延迟元件，能通过光程差改变两分量的相对相位，同时保持H/V测量概率不变。
怎样用测量检验偏振态的转换？
前面已经知道，在 \(\{|+\rangle,|-\rangle\}\) 测量基下，\(|+\rangle\) 态必定给出 \(+\) 结果，\(|-\rangle\) 态必定给出 \(-\) 结果。因此，把输出光子送入这组测量装置，就能检验转换是否实现。对一般相位 \(\phi\)，仍用已经建立的内积规则：
\[ \begin{aligned} a_+&=\langle+|\psi_\phi\rangle=\frac{1+e^{i\phi}}2,\\ a_-&=\langle-|\psi_\phi\rangle=\frac{1-e^{i\phi}}2. \end{aligned} \]
对\(+\) 出口，H、V分量分别贡献概率幅 \(1/2\) 与 \(e^{i\phi}/2\)。相对相位改变了这两个贡献相加后的大小，因而
\[ P(+|\psi_\phi)=\frac{1+\cos\phi}{2},\qquad P(-|\psi_\phi)=\frac{1-\cos\phi}{2}. \]
相位0时 \(+\) 出口概率为1；相位 \(\pi\) 时 \(-\) 出口概率为1。这给出了 \(|+\rangle\) 态变为 \(|-\rangle\) 态的测量检验。同一次无损调控保持了H/V概率各半，却把这组测量的确定结果从 \(+\) 变为 \(-\)：状态是否改变，不能只由一组测量的概率判断。
相位还可以取中间值。\(\phi=\pm\pi/2\) 对应两种相反旋向的圆偏振，经典对应电场的端点在横截面上随时间沿圆周运动；其他一般取值对应椭圆偏振。这些状态在H/V中的概率仍各半，45度及其垂直方向的概率则随相位连续变化。
实验选看 · 四分之一波片怎样改变偏振？（81秒）
波片两主轴方向的分量获得相对四分之一周期的延迟，即相位差π/2。片段先展示椭圆偏振，再把入射线偏振与波片主轴的夹角调至约45度，观察转动末端分析片时光斑强度近似不变。
这里转动波片会改变入射光在其主轴上的分量，不等同于这里的可调延迟模型在固定H/V分量下连续扫描相位。已知线偏振光通过近似无损波片，支持对这里偏振态的判断；单凭转动线偏振分析片时强度不变，不能普遍区分圆偏振与非偏振光。
Shaoul Ezekiel，MIT OpenCourseWare，Quarter-wave Plate。教学节选，原声保留；上方中文为观察提示，非逐字字幕；CC BY-NC-SA 4.0。
对于H/V等概率随机混合，每次输入的是H或V中的一个态。前面主轴固定沿H、V的延迟元件只给该输入态乘上整体相位，两种输入的偏振及其权重都不变，所以45度及其垂直方向统计始终各半。这个对比再次表明，相干叠加中的相对相位可以影响读出，随机混合则按各类输入的概率加权。
前面比较45度偏振与随机H/V混合时，换到 \(\{|+\rangle,|-\rangle\}\) 测量基，就能看出两者的区别。但还有一个更容易混淆的例子：当纯态 \(|\psi_\phi\rangle\) 的相对相位为 \(\phi=\pi/2\) 时，它在H/V测量和 \(\{|+\rangle,|-\rangle\}\) 测量中都给出各半的概率，与随机H/V混合完全相同。只看这两组统计，我们还能区分它们吗？
这时需要再换一组测量。这个纯态对应前面介绍的圆偏振，可以用圆偏振测量基将它与随机H/V混合区分开；选做题将给出这组基并计算。两组测量的统计相同，仍不足以断定两个状态相同；选择能够显示其差别的测量，是识别状态的关键。
核心知识点：相对相位改变同一结果的概率幅相加，因此能改变读出概率；H/V两路各半并未记录这个相位信息。
从光子偏振中，我们认出了怎样的量子比特？
回到开头的0和1。我们已经看到，单光子偏振可以用H、V两个可区分的态编码，也可以处于它们的相干叠加态；测量结果还取决于概率幅的相对相位。把H、V重新标记为 \(|0\rangle\)、\(|1\rangle\)，任意偏振纯态就写为
\[ |\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle,\qquad |\alpha|^2+|\beta|^2=1. \]
所有这些纯态的态矢量都可以用两个基矢 \(|0\rangle\)、\(|1\rangle\) 的线性组合表示。这两个基矢张成一个二维量子态空间，在量子力学中也称为二维希尔伯特空间（Hilbert space）。这里，它就是前面一直使用的、带有内积的二维复向量空间：两个复数给出态矢量的坐标，内积用于计算测量结果的概率幅。以这样的态空间承载信息的基本单元，就是一个量子比特。在这里，我们固定光子的传播模式，只使用偏振这一可变化的物理属性，称为偏振自由度。
两项都非零时，除了大小还需要相对相位；整体相位不区分纯态。量子比特也可以处于混合态，H、V等概率随机混合就是一个例子。
一次选定基下的测量给出一个结果。要确定这批光子的状态，需要反复用同样的方法准备光子，并在适当的不同测量基下积累统计。态矢量描述可预测的结果概率，一次读出的0或1只是其中的一条记录。
核心知识点：量子比特由二维量子态空间描述，编码基矢的物理含义取决于载体。
本讲的二维纯态也可用球面坐标表示。忽略整体相位后，任意归一化纯态可参数化为
\[ \begin{gathered} |\psi\rangle=\cos\frac{\vartheta}{2}|0\rangle +e^{i\varphi}\sin\frac{\vartheta}{2}|1\rangle,\\ 0\leq\vartheta\leq\pi,\quad 0\leq\varphi<2\pi. \end{gathered} \]
其中 \(\vartheta\) 是从球的北极起算的极角，\(\varphi\) 是方位角。对应的单位球面坐标为
\[ \boldsymbol r=(\sin\vartheta\cos\varphi,\, \sin\vartheta\sin\varphi,\,\cos\vartheta). \]
这里的球面是态空间的表示，不是粒子的空间轨迹。两正交态位于对跖点；等权叠加位于赤道，相对相位决定经度。两极处只有一个分量非零，方位角不再区分状态。
对偏振采用 \(|0\rangle=|H\rangle\)、\(|1\rangle=|V\rangle\) 的约定时，两态在球上相对，尽管两条实际线偏振方向相差90度。这再次体现态空间角度与装置空间角度的区别。
可继续使用 PhET：Quantum Measurement 中的Bloch球页面，比较球面方向与测量统计。它是需联网打开的选读资源；本讲的核心计算不依赖该模拟。
同一个量子比特，不同的物理载体
光子偏振已经提供了两种可区分的编码态，以及它们的叠加、操作和读出。如果另一个物理系统也能提供这样的两态空间，能否沿用刚才的描述与计算？ 我们先看自旋，再看从原子和电路的多个能级中选出两个态的做法。
除了偏振，粒子的自旋怎样提供两个编码态？
我们熟悉的轨道角动量来自空间运动，自旋则是粒子的内禀角动量，不能直接解释成小球的机械自转。以电子的自旋自由度为例，沿选定 \(z\) 方向测量分量，结果为 \(+\hbar/2\) 或 \(-\hbar/2\)，其中 \(\hbar=h/(2\pi)\)。使这次测量确定得到正、负结果的两个态，分别记为 \(|z+\rangle\)、\(|z-\rangle\)。它们提供另一组两态编码。
内部性质怎样被读出？Stern–Gerlach原子束装置利用非均匀磁场，使不同磁矩分量产生不同偏转，把内部性质关联到输出路径。对银原子，现代解释中主要磁矩来自未配对电子的自旋；忽略核自旋及相关耦合等细节后，可以采用理想自旋二分之一模型。自旋二分之一的实验与理论背景
图中的记录板用于观察原子束的分裂。后面讨论连续测量时，我们会让其中一束原子继续进入下一台装置，考察改变测量方向后会得到什么结果。
核心知识点：自旋是内禀角动量；自旋二分之一系统沿指定方向的分量测量只有两个结果。
1922年，奥托·施特恩（Otto Stern）与瓦尔特·格拉赫（Walther Gerlach）通过银原子束实验检验空间量子化：角动量在磁场方向上的投影，是否只能取离散值？实验还依赖精密机械师阿道夫·施密特（Adolf Schmidt）的装置制作。法兰克福大学实验史
照片来源：法兰克福大学；原署名Archive Institut für Kernphysik/Physikalischer Verein。
若采用连续磁矩取向的简单经典模型，偏转应连续分布；实际银原子束的记录出现了分裂结构。历史记录呈现的是有限宽度的沉积痕迹，教科书的两条细线则是对两个输出分量的理想化表示。
历史记录转载于Friedrich与Herschbach的Physics Today文章，2003年，图4；原署名AIP Emilio Segrè Visual Archives。
在束流附近磁场方向近似固定、取为z轴，且磁矩分量 \(\mu_z\) 在通过时近似不变的模型中，\(U=-\mu_zB_z\)，因此 \(F_z\simeq\mu_z\partial B_z/\partial z\)。场梯度将不同磁矩分量映射为不同偏转。均匀磁场仍可产生转矩，但没有这里用于分束的梯度力。
沿z方向结果确定，改沿x方向测量会怎样？
若粒子处于 \(|z+\rangle\)，沿z方向测量必然得到正结果。改沿x方向测量时，两种结果的概率是多少？偏振的经验提示我们先找到x方向测量的两个结果态，再计算它们与输入态的内积。现在缺少的正是这两个态在z基底中的表达式。
自旋分量这样的可测物理量称为可观测量。量子力学用算符表示可观测量；选定基底后，这里可以把算符写成作用于态矢量的矩阵。矩阵与测量的联系由本征值方程给出：
\[ \hat S_n|n\pm\rangle=\pm\frac{\hbar}{2}|n\pm\rangle. \]
这里 \(n\) 表示所选的测量方向。满足方程的态称为 \(\hat S_n\) 的本征态，右侧乘上的数称为本征值：处于该态时，沿n方向测量自旋分量，结果就确定为相应本征值。因此，找出x方向的结果态，就是求 \(\hat S_x\) 的两个本征态。
取 \(|z+\rangle=(1,0)^{\mathsf T}\)、\(|z-\rangle=(0,1)^{\mathsf T}\) 为基底，其中上标 \(\mathsf T\) 表示转置成列向量。自旋二分之一模型给出
\[ \hat S_z=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad \hat S_x=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}. \]
这两个矩阵是自旋模型的物理输入，规定z、x测量在同一个二维态空间中的对应关系。下面通过求解本征态，把它们转成可计算的测量预测。
对 \(\hat S_z\)，代入两个基矢就得到 \(\hat S_z|z\pm\rangle=\pm(\hbar/2)|z\pm\rangle\)，与它们各自确定的z测量结果一致。
对 \(\hat S_x\)，令候选态的坐标为 \((u,v)^{\mathsf T}\)。正本征值方程要求 \((v,u)^{\mathsf T}=(u,v)^{\mathsf T}\)，所以 \(v=u\)；归一化后，可选 \(u=v=1/\sqrt2\)。负本征值方程则给出 \(v=-u\)。于是
\[ |x+\rangle=\frac{|z+\rangle+|z-\rangle}{\sqrt2},\qquad |x-\rangle=\frac{|z+\rangle-|z-\rangle}{\sqrt2}. \]
现在可以回答本节开头的问题：
\[ P(x+|z+)=|\langle x+|z+\rangle|^2=\frac12,\qquad P(x-|z+)=\frac12. \]
同一个输入态在z方向有确定结果，在x方向却给出两个等概率结果。这与偏振中“保持输入态、换分析方向”的计算方法相同；两个方向的具体态矢量关系则来自自旋模型。
核心知识点：可观测量用算符表示，本征态对应确定结果，本征值对应测量值。
角动量量子数记为 \(s\)。自旋二分之一意味着 \(s=1/2\)，其分量的磁量子数为 \(m=\pm1/2\)，对应 \(S_z=m\hbar\)。同一模型还有 \(\hat S_y=(\hbar/2)\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\)。这些矩阵满足 \([\hat S_x,\hat S_y]=i\hbar\hat S_z\)，其中 \([A,B]=AB-BA\)，以及 \(\hat S_x^2+\hat S_y^2+\hat S_z^2=(3/4)\hbar^2\hat I\)。所以分量测量值的大小 \(\hbar/2\)，不等于由总角动量平方定义的大小 \(\sqrt3\hbar/2\)。本讲后续计算只需正文中的z、x矩阵；完整的角动量理论由量子力学课程展开。
中途选出x正支，再测z方向会怎样？
已经知道 \(|z+\rangle\) 在x测量中两路各半。如果中途只留下x正支，再沿z方向测量，它还会保持原来的确定结果吗？
与偏振片的连续选择一样，我们采用理想分析器把两个结果送往不同路径，挡住一支、保留另一支，最后才探测。假定传输中没有额外自旋演化；可取束流沿y方向传播，x、z为横向分析轴。先沿z分析、选出正支，便制备了 \(|z+\rangle\)。
直接再沿z分析，正结果概率为1。若先沿x分析并只保留正支，当前态就变为 \(|x+\rangle\)；用它预测最后的z分析，两种结果各半。因此指定序列的概率为
\[ P(x+,z+|z+)=P(x+|z+)P(z+|x+)=\frac14. \]
末台的“一半”以保留下来的x正样本为分母；指定路径的“四分之一”以最初的z正样本为分母。
在真实空间，x、z分析轴相差90度，H偏振与45度偏振只相差45度；上述重叠概率却都是一半。正交态的判据始终是内积为零，例如 \(\langle z+|z-\rangle=0\)，而 \(\langle z+|x+\rangle\ne0\)。不要把真实空间的两条垂直轴误当成两个正交态。
核心知识点：不同载体共享条件概率与状态更新规则，但态空间关系不能直接换成相同的装置角度。
原子有许多能级，怎样选出一个量子比特？
偏振与自旋二分之一提供了天然的两态例子。原子或离子一般有许多内部能级，能否也用来承载一个量子比特？
做法是选取两个适合准备、控制和区分的正交内部态，例如由电子与核的角动量耦合产生的两个超精细态，标为 \(|0\rangle\)、\(|1\rangle\)。这两个态及其线性组合构成整个状态空间中的一个二维子空间，其中纯态仍写作 \(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle\)。NIST：离子量子比特的内部态编码
其余能级仍然存在。在应保持编码的操作中进入其他状态，称为泄漏。因此，有效两能级描述的适用条件包括：在所关心的操作与精度范围内，其他态的影响能够受到控制。
这时使用“有效自旋二分之一”语言，表示这个子空间的二维数学结构；并不意味着两个能级的真实总角动量一定是二分之一。
核心知识点：系统可以有许多能级，量子比特编码只使用其中选定的两个正交态。
电路也能提供两个可单独操控的能级吗？
既然可以从多个能级中选择两个态，载体就不必局限于天然原子。我们也可以设计一个具有离散量子能级的超导电路，让它成为“人工原子”。
电路中的量子能级已有实验依据。2025年诺贝尔物理学奖授予约翰·克拉克（John Clarke）、米歇尔·德沃雷（Michel H. Devoret）和约翰·马丁尼斯（John M. Martinis），表彰他们发现了电路中的宏观量子隧穿和能量量子化。这些实验表明，电路的集体自由度也能表现出量子行为，为后来利用超导电路构造量子比特奠定了基础。诺贝尔奖官方介绍
怎样把电路的量子能级用于编码和控制？下面以transmon为例，看看电路结构怎样帮助我们选出并操控两个能级。
先从熟悉的LC电路出发：电容 \(C\) 的电场能与电感 \(L\) 的磁场能相互交换，形成简谐振荡。量子化后，它对应一个能级等间隔的简谐振子。问题是，驱动最低两级跃迁的频率，也恰好对应更高相邻能级的跃迁；单靠选择频率，很难把操作限制在最低两级。
解决办法是给电路引入非线性。约瑟夫森结由两个超导体隔着极薄的绝缘层构成，在这里起到非线性电感的作用。用它替代LC电路中的线性电感，并与较大的电容并联，就得到transmon的基本电路。约瑟夫森结使能级间隔不再相等，这称为非简谐性；较大的并联电容则帮助降低电荷扰动的影响。Koch等：transmon的原始设计
现在选择最低两级作为 \(|0\rangle\)、\(|1\rangle\)。由于它们之间的跃迁频率 \(f_{01}\) 与通向更高能级的 \(f_{12}\) 不同，就可以用频率接近 \(f_{01}\) 的微波脉冲，主要驱动这两个编码态之间的跃迁。这就是这里的设计思路：先把等间隔能级变成非等间隔，再利用频率差选择性地控制最低两级。 transmon的非简谐性较弱，微波脉冲仍需适当设计，以减少向更高能级的泄漏。超导量子比特的电路与微波控制
我们已经有三种不同来源的两态结构：偏振自由度、实际自旋，以及多能级体系中选出的有效子空间。它们所用的器件与物理量不同，概率幅和测量规则则可以共用。
核心知识点：电路的量子能级也能承载量子比特，选择性操作依赖适当的能级结构。
回到开场：怎样使用一个量子比特？
| 载体 | 两个编码态来自哪里？ |
|---|---|
| 单光子偏振 | 固定传播模式中的H、V偏振 |
| 电子自旋 | 沿选定方向的两个自旋分量本征态 |
| 原子或离子 | 选定的两个内部态 |
| 超导电路 | 设计出的能级结构中选定的两个态 |
相同频率的H、V光子可以具有相同能量，所以跨越所有这些例子的共同点是二维态空间，而不是必须有两个不同能量值。对许多物质实现，“有效两能级系统”仍是很有用的描述。
核心知识点：量子比特的共同基础是可操控的二维量子子空间，两个编码态不必具有不同能量。
开头由Shor算法提出的问题是：量子计算用什么承载信息，又怎样操作和读取它？我们从一个光子的偏振出发，比较45度偏振态与H/V随机混合态，发现只知道H/V测量的概率还不足以描述状态。为预测不同测量的结果，我们引入量子态的数学表示，随后用它计算连续选择和相位变化后的读出概率，最后把同一套描述用于其他载体。制备决定起始态，操作改变状态，量子态与测量方式共同决定读出概率。 这就是贯穿这些实验与计算的主线。
怎样写入？ 通过物理操作制备状态，结果选择也是一种制备方法。怎样描述？ 纯态需要归一化的概率幅及其相对相位，随机混合还需要更一般的描述。怎样预测操作后的读出？ 先确定后续态，再选定测量基，用Born规则计算结果概率。
量子算法进一步把多个量子比特的状态、相干操作和测量组织起来，以取得解决问题所需的信息。后面的算法专题将解释Shor算法如何完成这件事；本讲建立了理解其中基本物理单元的语言。
紧接着要解决的是控制问题。筛选可以制备状态，但会舍弃部分样本。下一讲将研究：能否施加可控作用，让状态在两个基矢之间发生所需的相干演化？这将把量子态的描述推进到二能级系统的控制。
核心自查与练习
核心知识点：用预测、条件概率和测量设计检查理解，而不只识别公式。
先自查三个问题：为什么只知道H/V测量的概率各半，还不能确定量子态？三块偏振片计算的每一步输入态是什么？“二维量子态空间”与“只有两个不同能量值”是否等价？前两问分别由A、B两种输入的比较与状态更新回答；第三问可用同频率的H/V偏振作为反例。
以下均采用本讲理想模型。比较不同测量基时，每次按同样的方法准备新样本。第1—4题为核心练习，第5—6题用于迁移与选做。
1. 区分量子态。 A每次输入45度偏振的光子；B每次以相同概率随机输入H或V偏振的光子。分别计算H结果与45度结果的概率，说明哪种分析能够区分二者的统计。
2. 角度、顺序与分母。 第一块水平片之后有1000个H光子，随后为30度偏振片和竖直片。求各步透过的期望数及状态。交换后两片，最终结果怎样？
3. 相位延迟。 输入为45度偏振，元件给H、V分别增加相位 \(\delta_H=\pi/3\)、\(\delta_V=5\pi/6\)。写出输出态，计算H口与45度口的概率。如果两个相位同时增加 \(\pi/4\)，概率怎样变化？
4. 复概率幅。 给定 \(|\psi\rangle=(\sqrt3/2)|H\rangle+(i/2)|V\rangle\)。检验归一化，分别计算H/V测量和45度及其垂直方向测量的结果概率。
5. 迁移到自旋。 初始自旋态为 \(|z+\rangle\)，沿x分析只保留负支，再沿z分析。写出中间条件态，求末台两个结果的条件概率及“x负、z负”路径概率。
6. 设计另一组测量（选做）。 B每次以相同概率随机输入H或V偏振的光子；C每次的输入态都是 \((|H\rangle+i|V\rangle)/\sqrt2\)。它们在H/V测量和45度及其垂直方向测量中都各半。验证 \(|c_\pm\rangle=(|H\rangle\pm i|V\rangle)/\sqrt2\) 正交归一，计算B、C得到 \(c_+\) 的概率。
- A、B的H概率都是 \(1/2\)。A的45度概率为1；B为 \((1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)=1/2\)，因此45度及其垂直方向分析能够在重复试验的统计中区分二者。
- 中间透过概率 \(\cos^230^\circ=3/4\)，期望750个，状态为30度线偏振。末台条件透过概率 \(\sin^230^\circ=1/4\)，期望187.5个，状态为V。非整数表示期望值。交换后先遇到竖直片，透过为零。
- 输出为 \(e^{i\pi/3}(|H\rangle+i|V\rangle)/\sqrt2\)，相对相位 \(\pi/2\)。H概率与45度概率都是 \(1/2\)。共同增加相位只改变整体相位，所有概率不变。
- 范数平方为 \(3/4+1/4=1\)。H/V概率为 \(3/4,1/4\)；45度及其垂直方向概率幅为 \((\sqrt3\pm i)/(2\sqrt2)\)，概率都是 \(1/2\)。
- 中间保留态为 \(|x-\rangle=(|z+\rangle-|z-\rangle)/\sqrt2\)。末台两个条件概率各半，指定路径相对于初始样本的概率为 \(1/4\)。
- 两态范数平方为1，\(\langle c_+|c_-\rangle=[1+(-i)(-i)]/2=0\)。B给出 \(P(c_+)=1/2\)，C给出 \(P(c_+)=1\)。固定相对相位的纯态可以与随机混合在更多测量中显现区别。
来源与进一步阅读
- Shor：Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer：开场所提整数分解算法的原始论文；算法细节留待后续专题。
- 费曼物理学讲义第三卷第11章：光子偏振与两态概率幅。
- 费曼物理学讲义第三卷第6章：自旋二分之一与分析器。
- 费曼物理学讲义第二卷第35章：磁矩、磁场与Stern–Gerlach装置。
- Friedrich与Herschbach，Physics Today：SG历史与实验记录。
- NIST：Experimental Primer on the Trapped Ion Quantum Computer：离子内部态编码。
- Krantz等，A Quantum Engineer’s Guide to Superconducting Qubits：超导电路、非谐性与控制。
- 补充讲义A：单光子干涉：在相干路径中先相加概率幅，再计算概率。